Tautología y contradicción.

Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables.

A continuación me permito citar una lista de las tautologías más conocidas y reglas de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales que obviamente el autor no consideró..

1.- Doble negación.

a). p''Ûp


2.- Leyes conmutativas.

a). (pÚq)Û(qÚp)

b). (pÙq)Û(qÙp)

c). (p«q)Û(q«p)

3.- Leyes asociativas.

a). [(pÚq)Úr]Û[pÚ(qÚr)]

b. [(pÙq)Ùr]Û[pÙ(qÙr)]

4.- Leyes distributivas.

a). [pÚ(qÙr)]Û[(pÚq)Ù(pÚr)]

b. [pÙ(qÚr)]Û[(pÙq)Ú(pÙr)]

5.- Leyes de idempotencia.

a). (pÚp)Ûp

b). (pÙp)Ûp

6.- Leyes de Morgan

a). (pÚq)'Û(p'Ùq')

b). (pÙq)'Û(p'Úq')

c). (pÚq)Û(p'Ùq')'

b). (pÙq)Û(p'Úq')'

7.- Contrapositiva.

a). (p®q)Û(q'®p')

8.- Implicación.

a). (p®q)Û(p'Úq)

b). (p®q)Û(pÙq')'

c). (pÚq)Û(p'®q)

d). (pÙq)Û(p®q')'

e). [(p®r)Ù(q®r)]Û[(pÙq)®r]

f). [(p®q)Ù(p®r)]Û[p®(qÙr)]

9.- Equivalencia

a). (p«q)Û[(p®q)Ù(q®p)]

10.- Adición.

a). pÞ(pÚq)

11.- Simplificación.

a). (pÙq)Þp

12.- Absurdo

a). (p®0)Þp'

13.- Modus ponens.

a). [pÙ(p®q)]Þq

14.- Modus tollens.

a). [(p®q)Ùq']Þp'

15.- Transitividad del «

a). [(p«q)Ù(q«r)]Þ(p«r)

16.- Transitividad del ®

a). [(p®q)Ù(q®r)]Þ(p®r)

17.- Mas implicaciones lógicas.

a). (p®q)Þ[(pÚr)®(qÚs)]

b). (p®q)Þ[(pÙr)®(qÙs)]

c). (p®q)Þ[(q®r)®(p®r)]

18.- Dilemas constructivos.

a). [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÚr)®(qÚs)]

b). [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÙr)®(qÙs)]

Contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es pÙ p’ . Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.


p
p’
pÙ p’

0
1
0

1
0
0



Si en el ejemplo anterior

p: La puerta es verde.

La proposición pÙ p’ equivale a decir que "La puerta es verde y la puerta no es verde". Por lo tanto se esta contradiciendo o se dice que es una falacia.

Una proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla de verdad, dan como resultado 1s y 0s se le llama contingente.

Equivalencia lógica.

Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p º q.

Considero que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde se puede observar que las columnas de (p® q) y (q’® p’) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p® q) º (q’® p’)

Reglas de inferencia

Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración.

Ejemplo 1

¿Es valido el siguiente argumento?.

Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico.

Si se hace usted rico, entonces será feliz.

____________________________________________________

\ Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz.

Sea:

p: Usted invierte en el mercado de valores.

q: Se hará rico.

r: Será feliz

De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente manera:

p ® q

q ® r

______

\ p ® r

Ejemplo 2.

¿Es valido el siguiente argumento?.

Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso

El ingreso se eleva.

_________________________________________

\ Los impuestos bajan

Solución:

Sea

p: Los impuestos bajan.

q: El ingreso se eleva.

p ® q

q

_____

\ p

El aplicar la regla de inferencia es lo que le cuesta más al alumno y se deberá poner mucha atención para que el alumno aprenda a aplicar dicha regla.

En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen reglas de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta es la parte en donde la mayoría de alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla aplicar para resolver un determinado problema. A continuación se cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración.

19.- Adición 23.- Conjunción

p p

_______ q

\ pÚ q _________

\ p Ù q

20.- Simplificación 24.- Modus pones

p Ù q p

____________ p® q

\ p _________

\ q

21.- Silogismo disyuntivo 25.- Modus tollens

pÚ q p® q

p’ q’

_________ ___________

\ q \ p’

22.- Silogismo hipotético

p® q

q® r

________

p® r

Métodos de demostración.

Demostración por el método directo.

Supóngase que p® q es una tautología, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables propositvas, se dice que q se desprende lógicamente de p. Supóngase una implicación de la forma.

(p1 Ù p2 Ù .......Ù pn) Þ q

Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lógicamente de p1,p2,......,pn. Se escribe.

p1

p2

pn

___

\ q

Realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,...... y pn también es verdadera, entonces se sabe que q es verdadera.

Prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos por implicaciones de este tipo.

(p1 Ù p2 Ù .......Ù pn) Þ q

Donde la pi son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión. "Demostrar el teorema", es demostrar que la implicación es una tautología. Note que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas.

Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.

A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de las tautologías como de las reglas de inferencia.

Sean

p: Trabajo.

q: Ahorro.

r: Compraré una casa.

s: Podré guardar el coche en mi casa.


Analizar el siguiente argumento:

"Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro".

El enunciado anterior se puede representar como:

p Ú q ® r; y r ® s; entonces s' ® q'

Equivale también a probar el siguiente teorema:

[(p Ú q) ® r] Ù [r ® s] Þ [s' ® q']

Como se trata de probar un teorema de la forma general:

p1 Ù p2 Ù......Ù pn Þ q

Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos. A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.

1.- (p Ù q) ® r Hipótesis

2.- r ® s Hipótesis

3.- q ® (q Ù p) Adición tautología 10

4.- q ® (p Ú q) 3; ley conmutativa, regla 2

5.- q ® r 4,1; silogismo hipotético, regla 22

6.- q ® s 5,2; regla 22

7.- s' ® q' 6; contrapositiva, regla 7.

El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera.

Es recomendable numerar cada uno de los pasos. Se puede notar que las primeras líneas son hipótesis, la línea 3 es una tautología conocida y de la línea 4 a 7 se obtuvieron aplicando reglas de inferencia. Se indica la regla de inferencia aplicada por medio del número de la derecha, y las líneas a las cuales se les aplicó dicha regla de inferencia por medio de los números de la izquierda.

El ejemplo anterior es una demostración sencilla, pero puede ser tan complicada como sea necesario y el método debe funcionar.

Demostración por contradicción.

El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción.

La demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como se indica

[ p ® (p Ù r) ] Ù [ (q Ú s) ® t ] Ù (p Ú s) Þ t

Demostración

1.- p ® (p Ù r) Hipótesis

2.- (q Ú s) ® t Hipótesis

3.- p Ú s Hipótesis

4.- t’ Negación de la conclusión

5.- (qÚ s)’ 2,4; Modus tollens, regla 25

6.- q’ Ù s’ 5; Ley de Morgan, 6ª

7.- q’ 6; Simplificación, regla 20

8.- s’ Ù q’ 6; Ley conmutativa, 2b

9.- s’ 8; Simplificación, regla 20

10.- sÚ p 3; Ley conmutativa, 2ª

11.- p 10,9; Silogismo disyuntivo, regla 21

12.- q Ù r 11,1; Modus ponens, regla 24

13.- q 12; Simplificación, regla 29

14.- q Ù q’ 13,7; Conjunción, regla 23

15.- Contradicción.

Note que juntamente con las premisas se debe incluir la negación de la conclusión. En este momento el alumno ya tiene los elementos para llevar a cabo demostraciones con el apoyo del maestro. Es conveniente plantear varios enunciados, para que el alumno los represente con simbología lógica en forma de teorema. Que ese mismo teorema lo represente con su tabla de verdad y haga la correspondiente demostración por los dos métodos antes mencionados.

La forma en que el aprende a aplicar reglas de inferencia es semejante a la manera en que deberá realizar una factorización o una aplicación de una fórmula en cálculo diferencial o integral o la formula que debe aplicar para resolver un problema en física. Lo que debe aprender es a relacionar los distintos conocimientos para poder llegar a la solución. Es importante mencionar que el camino que debe seguir el alumno no es el mismo que el maestro siguió sino uno distinto pero que ambos llegan al resultado.