Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas, sin importar el valor que tomen las variables implicadas en cada expresión (denominados miembros de la ecuación; el primer miembro es el que aparece antes del signo de igualdad, y el segundo miembro es el que aparece en segundo lugar, aunque es perfectamente válido permutarlos).

En muchos problemas matemáticos, la condición del problema se expresa en forma de ecuación algebraica. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación. Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones, se denominará inecuación.

Una ecuación polinómica es una igualdad entre dos polinomios (p. ej.: ). En particular, realizando transformaciones sobre los miembros de la ecuación (en ambos miembros las mismas transformaciones y en el mismo orden) puede conseguirse que uno de los miembros se reduzca a 0, razón por la cual se suele considerar que una ecuación polinómica es una en la que en el primer miembro aparece un polinomio y en el segundo aparece el cero (volviendo a nuestro ejemplo, la ecuación resultaría

Cómo resolver una ecuación de primer grado [editar]Para la resolución de ecuaciones de primer grado podríamos definir un esquema con los pasos necesarios.

Para empezar comencemos con una ecuación de primer grado sencilla:

9x − 9 + 108x − 6x − 92 = 16x + 28 + 396
Nuestro objetivo principal es dejar sola la x en uno de los miembros de la ecuación, el izquierdo o el derecho.


1- Transposición: Lo primero que debemos hacer es colocar los términos con X en un miembro, y los números en otro. Para ello, podemos ver que hay algunos términos que tendremos que pasar al otro miembro. Esto lo podemos hacer teniendo en cuenta que:

Si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)

Si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9)

Si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2)

Si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5)

Una vez que ya hemos pasado todos los términos en la ecuación, esta quedaría así:

9x + 108x − 6x − 16x = 28 + 396 + 9 + 92
Como puede verse, todos los términos que dependen de X han quedado a la izquierda del signo igual (en el primer miembro), y todos los números enteros han quedado a la derecha (en el segundo miembro).

2- Simplificación:

El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta, por lo que realizaremos la operación de polinomios que se nos plantea.

Es decir: en nuestro caso, por un lado realizamos la simplificación del primer miembro: 9x+108x-6x-16x = (9+108-6-16)x = 95x

Y por otro lado: 28+396+9+92 = 525

De forma la ecuación simplificada sería:

95x = 525
3- Despejar:

Ahora es cuando debemos cumplir nuestro objetivo final, dejar la X completamente sola; para ello volveremos a recurrir a la transposición.

Es decir, en nuestra ecuación deberíamos pasar el 95 al otro lado, y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):

x = 525 / 95
Comprueba que el ejercicio ya está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que nos dice que la x ocultaba el número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar esto.

Resolvemos la fracción (Numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si nos diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.

En nuestra ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95=5.5263157894737)

por lo tanto

x=525/95

y simplificamos

x=105/19

Explicacion de Transposición:

Arriba observaste que si un numero pasa al otro lado de la ecuacion cambia su signo por el contrario, eso es debido a que en realidad, para pasar un número a otro lado se haria así:

3x-5=27

para pasar se aplicaria esto:

3x-5+5= 27+5

Se pone el numero OPUESTO en los dos lados, si se restara, se sumaria, si se sumara, se restaria, si se dividiera se multiplicaria, y si es multiplicacion se dividiria.


Resolución de ecuaciones de primer grado (Problema) [editar]Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos 2. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:

x + 3 = 2x − 2
Se prodria leer asì: X numero de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el numero x de canicas menos 2 canicas.

El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:

x + 3 = 2x − 2
Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:

x − 2x = − 2 − 3
Que, simplificado, resulta:

− x = − 5
Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

x = 5
El problema está resuelto.

Todas las ecuaciones de segundo grado pueden tener como mucho 2 soluciones válidas. Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:


Ecuaciones de segundo grado [editar]
Ecuaciones de la forma ax²+c=0 [editar]Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

x2 − 16 = 0
Pasamos -16 al segundo miembro

x2 = 16
Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada


La ecuación ya está resuelta


Ecuaciones de la forma ax²+bx=0 [editar]Tengamos:

3x2 + 9x = 0
En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:

x(3x + 9) = 0
Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:

3x + 9 = 0
3x = − 9

Por lo tanto, las 2 soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3


Ecuaciones de la forma ax²+bx+c=0 [editar]Tengamos por ejemplo la ecuación:

x2 + 5x + 6 = 0
Para resolver ecuaciones cuadraticas utilizamos directamente la fórmula general:


Por lo tanto, para resolver esta ecuación sustituimos las letras por los números:

a = al coeficiente de la incognita elevada al cuadrado. b = al coeficiente de la incognita elevada a la uno. c = al número libre de incognita .





Es importante recordar que si el resultado dentro de la raiz en la formula general es negativo, no tiene soluciones reales.

A partir de esta fórmula obtenemos que las soluciones válidas para esta ecuación son -2 y -3

Tambien podemos usar la factorización de la siguiente manera. Se abren dos paréntesis, los dos conteniendo una vez a x asi:

== (x + ) y (x + ) ==

Se expresan positivos los dos signos ya que en los dos signos que separan la ecuación son positivos .




Luego se buscan dos números que multiplicados me resulte el entero (6) y sumados me resulte el numero que tiene la otra x que no esta elevada al cuadrado (5) entonces decimos:

2 x 3= 6 y 2 + 3= 5


Luego se coloca el mayor en el paréntesis de la izquierda y el menor en el paréntesis de la derecha así: (x + 3)(x + 2)

Si multiplicamos esta expresión nos dará la ecuación factorizada y así tenemos el valor de las dos "x".