martes, 15 de julio de 2008

Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad; Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo.

En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b).

Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase entidad). Si por el contrario, es el mismo sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o destruye en caso de que éstos se cambien, será una inecuación "condicional". El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si ambos miembros se multiplican o dividen por un número negativo.

La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado.

Las inecuaciones se rigen por las siguientes propiedades:


Tricotomía [editar]La propiedad de la tricotomía dicta que:

Para dos números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:
a < b
a = b
c > d

Transitividad [editar]El principio de transitividad de las inecuaciones dicta que:

Para tres números reales cualesquiera, a, b, y c:
Si a > b y b > c; entonces a > c
Si a < b y b < c; entonces a < c

Simetría [editar]Las relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto que:

Para dos números reales, a y b:
Si a > b entonces b < a
Si a < b entonces b > a
>(mayor que)
<(menor que)

Adición y sustración [editar]Las propiedades relacionadas con la adición y la sustración:

Para tres números reales, a, b, y c:
Si a > b; entonces a + c > b + c y a − c > b − c
Si a < b; entonces a + c < b + c y a − c < b − c

Multiplicación y división [editar]Las propiedades relativas a la multiplicación y la división:

Para tres números reales, a, b, y c:
Si c es positivo y a > b; entonces a × c > b × c y a / c > b / c
Si c es positivo y a < b; entonces a × c < b × c y a / c < b / c
Si c es negativo y a > b; entonces a × c < b × c y a / c < b / c
Si c es negativo y a < b; entonces a × c > b × c y a / c > b / c
Nota:

Si ambos términos de una inecuación se multiplican o dividen por la misma expresión negativa, el símbolo de la desigualdad se invierte.


Aplicando una función a ambos miembros [editar]Puede aplicarse cualquier función monótona creciente a ambos lados de una inecuación manteniendo el mismo signo de desigualdad.


Notación encadenada [editar]La notación a < b < c establece que a < b (a menor que b) y que b < c (b menor que c) y aplicando la propiedad transitiva anteriormente citada, puede deducirse que a < c (a menor que c). Obviamente, aplicando las leyes anteriores, puede sumarse o restarse el mismo número a los tres términos, así como multiplicarlos o dividirlos todos por el mismo número (distinto de cero) invirtiendo las inecuaciones según su signo. Debe tenerse cuidado de utilizar en todos los casos el mismo número. Así, a < b + e < c es equivalente a a - e < b < c - e.

Esta notación se puede extender a cualquier número de términos: por ejemplo, a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an establece que ai ≤ ai+1 para i = 1, 2, ..., n−1. Según la propiedad de la transitividad, esta condición es equivalente a ai ≤ aj para cualquier 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con inecuaciones en diferentes direcciones. En ese caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre los términos adyacentes. Por ejemplo, a < b > c ≤ d significa que a < b, b > c, y c ≤ d. Aparte del uso poco frecuente en matemáticas, esta notación existe en unos pocos lenguajes de programación tales como Python.

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas, sin importar el valor que tomen las variables implicadas en cada expresión (denominados miembros de la ecuación; el primer miembro es el que aparece antes del signo de igualdad, y el segundo miembro es el que aparece en segundo lugar, aunque es perfectamente válido permutarlos).

En muchos problemas matemáticos, la condición del problema se expresa en forma de ecuación algebraica. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación. Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones, se denominará inecuación.

Una ecuación polinómica es una igualdad entre dos polinomios (p. ej.: ). En particular, realizando transformaciones sobre los miembros de la ecuación (en ambos miembros las mismas transformaciones y en el mismo orden) puede conseguirse que uno de los miembros se reduzca a 0, razón por la cual se suele considerar que una ecuación polinómica es una en la que en el primer miembro aparece un polinomio y en el segundo aparece el cero (volviendo a nuestro ejemplo, la ecuación resultaría

Cómo resolver una ecuación de primer grado [editar]Para la resolución de ecuaciones de primer grado podríamos definir un esquema con los pasos necesarios.

Para empezar comencemos con una ecuación de primer grado sencilla:

9x − 9 + 108x − 6x − 92 = 16x + 28 + 396
Nuestro objetivo principal es dejar sola la x en uno de los miembros de la ecuación, el izquierdo o el derecho.


1- Transposición: Lo primero que debemos hacer es colocar los términos con X en un miembro, y los números en otro. Para ello, podemos ver que hay algunos términos que tendremos que pasar al otro miembro. Esto lo podemos hacer teniendo en cuenta que:

Si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)

Si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9)

Si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2)

Si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5)

Una vez que ya hemos pasado todos los términos en la ecuación, esta quedaría así:

9x + 108x − 6x − 16x = 28 + 396 + 9 + 92
Como puede verse, todos los términos que dependen de X han quedado a la izquierda del signo igual (en el primer miembro), y todos los números enteros han quedado a la derecha (en el segundo miembro).

2- Simplificación:

El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta, por lo que realizaremos la operación de polinomios que se nos plantea.

Es decir: en nuestro caso, por un lado realizamos la simplificación del primer miembro: 9x+108x-6x-16x = (9+108-6-16)x = 95x

Y por otro lado: 28+396+9+92 = 525

De forma la ecuación simplificada sería:

95x = 525
3- Despejar:

Ahora es cuando debemos cumplir nuestro objetivo final, dejar la X completamente sola; para ello volveremos a recurrir a la transposición.

Es decir, en nuestra ecuación deberíamos pasar el 95 al otro lado, y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):

x = 525 / 95
Comprueba que el ejercicio ya está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que nos dice que la x ocultaba el número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar esto.

Resolvemos la fracción (Numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si nos diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.

En nuestra ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95=5.5263157894737)

por lo tanto

x=525/95

y simplificamos

x=105/19

Explicacion de Transposición:

Arriba observaste que si un numero pasa al otro lado de la ecuacion cambia su signo por el contrario, eso es debido a que en realidad, para pasar un número a otro lado se haria así:

3x-5=27

para pasar se aplicaria esto:

3x-5+5= 27+5

Se pone el numero OPUESTO en los dos lados, si se restara, se sumaria, si se sumara, se restaria, si se dividiera se multiplicaria, y si es multiplicacion se dividiria.


Resolución de ecuaciones de primer grado (Problema) [editar]Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos 2. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:

x + 3 = 2x − 2
Se prodria leer asì: X numero de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el numero x de canicas menos 2 canicas.

El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:

x + 3 = 2x − 2
Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:

x − 2x = − 2 − 3
Que, simplificado, resulta:

− x = − 5
Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

x = 5
El problema está resuelto.

Todas las ecuaciones de segundo grado pueden tener como mucho 2 soluciones válidas. Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:


Ecuaciones de segundo grado [editar]
Ecuaciones de la forma ax²+c=0 [editar]Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

x2 − 16 = 0
Pasamos -16 al segundo miembro

x2 = 16
Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada


La ecuación ya está resuelta


Ecuaciones de la forma ax²+bx=0 [editar]Tengamos:

3x2 + 9x = 0
En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:

x(3x + 9) = 0
Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:

3x + 9 = 0
3x = − 9

Por lo tanto, las 2 soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3


Ecuaciones de la forma ax²+bx+c=0 [editar]Tengamos por ejemplo la ecuación:

x2 + 5x + 6 = 0
Para resolver ecuaciones cuadraticas utilizamos directamente la fórmula general:


Por lo tanto, para resolver esta ecuación sustituimos las letras por los números:

a = al coeficiente de la incognita elevada al cuadrado. b = al coeficiente de la incognita elevada a la uno. c = al número libre de incognita .





Es importante recordar que si el resultado dentro de la raiz en la formula general es negativo, no tiene soluciones reales.

A partir de esta fórmula obtenemos que las soluciones válidas para esta ecuación son -2 y -3

Tambien podemos usar la factorización de la siguiente manera. Se abren dos paréntesis, los dos conteniendo una vez a x asi:

== (x + ) y (x + ) ==

Se expresan positivos los dos signos ya que en los dos signos que separan la ecuación son positivos .




Luego se buscan dos números que multiplicados me resulte el entero (6) y sumados me resulte el numero que tiene la otra x que no esta elevada al cuadrado (5) entonces decimos:

2 x 3= 6 y 2 + 3= 5


Luego se coloca el mayor en el paréntesis de la izquierda y el menor en el paréntesis de la derecha así: (x + 3)(x + 2)

Si multiplicamos esta expresión nos dará la ecuación factorizada y así tenemos el valor de las dos "x".

Conjuntos

Cualquier definición dada hasta el momento esconde implícitamente paradojas lógicas o contradicciones. Por objeto entenderemos no sólo cosas físicas, como discos, computadores, etc., sino también entes abstractos, como son números, letras, etc. A los objetos se les llama elementos del conjunto. La relación de pertenencia entre los elementos y los conjuntos siempre es perfectamente discernible, en otras palabras, si un objeto pertenece a un conjunto o no , siempre puede calificarse como verdadero o falso .

Determinacion de un conjunto
Un conjunto se puede determinar de dos maneras: Por extensión y por comprensión.
Determinación de un Conjunto por Extensión
Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos.
Ejm. - El conjunto de los números naturales menores que 9. A=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Determinación de un Conjunto por Comprensión
Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos.
Ejm. - El conjunto formado por las letras vocales del abecedario. B=[x/x es una vocal]
Dos conjuntos son iguales si, y sólo si, contienen los mismos objetos. Se puede obtener una descripción más detallada en la Teoría de conjuntos.
Los conjuntos son uno de los conceptos básicos de lamatemática. Como ya se ha dicho, un conjunto es, más o menos, una colección de objetos, denominados elementos. La notación estándar utiliza llaves {, y } alrededor de la lista de elementos para indicar el contenido del conjunto, como por ejemplo:
{rojo, amarillo, azul}
{rojo, azul, amarillo, rojo}
{x: x es un color primario}
A es subconjunto de B
Intersección de A con B
Las tres líneas anteriores denotan el mismo conjunto. Como puede verse, es posible describir el mismo conjunto de diferentes maneras: Bien dando un listado de sus elementos (lo mejor para conjuntos finitos pequeños) o bien dando una propiedad que defina todos sus elementos. Por otro lado, no importa el orden, ni cuantas veces aparezcan en la lista sus elementos.
Si A y B son dos conjuntos y todo elemento x de A está contenido también en B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Todo conjunto tiene como subconjunto a sí mismo y al conjunto vacío, {}.
La unión de una colección de conjuntos: es el conjunto de todos los elementos contenidos en, al menos, uno de los conjuntos y se representa:
La intersección de una colección de conjuntos: , es el conjunto de todos los elementos contenidos en todos los conjuntos: y se representa:
los conjuntos también son nombrados según el número de elementos que tengan ejemplo conjunto vacío, conjunto unitario,conjunto finito,conjunto infinito. Algunos ejemplos de conjuntos de números son:
Los números naturales utilizados para contar los elementos de un conjunto.
Los números enteros
Los números racionales
Los números reales, que incluyen a los números irracionales
Los números complejos que proporcionan soluciones a ecuaciones del tipo x² + 1 = 0.
La teoría estadística se construye sobre la base de la teoría de conjuntos y la teoría de la probabilidad.

Relaciones entre conjuntos
Una categoría matemática consta de dos partes: los objetos y los morfismos. Cuando hablamos de la categoría de conjuntos, los objetos son los mismos conjuntos y un morfismo f entre dos objetos, digamos X, Y, en un tipo de relación entre X,Y dirigida i.e. un subconjuto del producto cartesiano de X con Y, en símbolos:

y ésta es una aplicación entre los conjuntos.
Tautología y contradicción.

Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables.

A continuación me permito citar una lista de las tautologías más conocidas y reglas de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales que obviamente el autor no consideró..

1.- Doble negación.

a). p''Ûp


2.- Leyes conmutativas.

a). (pÚq)Û(qÚp)

b). (pÙq)Û(qÙp)

c). (p«q)Û(q«p)

3.- Leyes asociativas.

a). [(pÚq)Úr]Û[pÚ(qÚr)]

b. [(pÙq)Ùr]Û[pÙ(qÙr)]

4.- Leyes distributivas.

a). [pÚ(qÙr)]Û[(pÚq)Ù(pÚr)]

b. [pÙ(qÚr)]Û[(pÙq)Ú(pÙr)]

5.- Leyes de idempotencia.

a). (pÚp)Ûp

b). (pÙp)Ûp

6.- Leyes de Morgan

a). (pÚq)'Û(p'Ùq')

b). (pÙq)'Û(p'Úq')

c). (pÚq)Û(p'Ùq')'

b). (pÙq)Û(p'Úq')'

7.- Contrapositiva.

a). (p®q)Û(q'®p')

8.- Implicación.

a). (p®q)Û(p'Úq)

b). (p®q)Û(pÙq')'

c). (pÚq)Û(p'®q)

d). (pÙq)Û(p®q')'

e). [(p®r)Ù(q®r)]Û[(pÙq)®r]

f). [(p®q)Ù(p®r)]Û[p®(qÙr)]

9.- Equivalencia

a). (p«q)Û[(p®q)Ù(q®p)]

10.- Adición.

a). pÞ(pÚq)

11.- Simplificación.

a). (pÙq)Þp

12.- Absurdo

a). (p®0)Þp'

13.- Modus ponens.

a). [pÙ(p®q)]Þq

14.- Modus tollens.

a). [(p®q)Ùq']Þp'

15.- Transitividad del «

a). [(p«q)Ù(q«r)]Þ(p«r)

16.- Transitividad del ®

a). [(p®q)Ù(q®r)]Þ(p®r)

17.- Mas implicaciones lógicas.

a). (p®q)Þ[(pÚr)®(qÚs)]

b). (p®q)Þ[(pÙr)®(qÙs)]

c). (p®q)Þ[(q®r)®(p®r)]

18.- Dilemas constructivos.

a). [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÚr)®(qÚs)]

b). [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÙr)®(qÙs)]

Contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es pÙ p’ . Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.


p
p’
pÙ p’

0
1
0

1
0
0



Si en el ejemplo anterior

p: La puerta es verde.

La proposición pÙ p’ equivale a decir que "La puerta es verde y la puerta no es verde". Por lo tanto se esta contradiciendo o se dice que es una falacia.

Una proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla de verdad, dan como resultado 1s y 0s se le llama contingente.

Equivalencia lógica.

Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p º q.

Considero que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde se puede observar que las columnas de (p® q) y (q’® p’) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p® q) º (q’® p’)

Reglas de inferencia

Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración.

Ejemplo 1

¿Es valido el siguiente argumento?.

Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico.

Si se hace usted rico, entonces será feliz.

____________________________________________________

\ Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz.

Sea:

p: Usted invierte en el mercado de valores.

q: Se hará rico.

r: Será feliz

De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente manera:

p ® q

q ® r

______

\ p ® r

Ejemplo 2.

¿Es valido el siguiente argumento?.

Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso

El ingreso se eleva.

_________________________________________

\ Los impuestos bajan

Solución:

Sea

p: Los impuestos bajan.

q: El ingreso se eleva.

p ® q

q

_____

\ p

El aplicar la regla de inferencia es lo que le cuesta más al alumno y se deberá poner mucha atención para que el alumno aprenda a aplicar dicha regla.

En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen reglas de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta es la parte en donde la mayoría de alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla aplicar para resolver un determinado problema. A continuación se cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración.

19.- Adición 23.- Conjunción

p p

_______ q

\ pÚ q _________

\ p Ù q

20.- Simplificación 24.- Modus pones

p Ù q p

____________ p® q

\ p _________

\ q

21.- Silogismo disyuntivo 25.- Modus tollens

pÚ q p® q

p’ q’

_________ ___________

\ q \ p’

22.- Silogismo hipotético

p® q

q® r

________

p® r

Métodos de demostración.

Demostración por el método directo.

Supóngase que p® q es una tautología, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables propositvas, se dice que q se desprende lógicamente de p. Supóngase una implicación de la forma.

(p1 Ù p2 Ù .......Ù pn) Þ q

Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lógicamente de p1,p2,......,pn. Se escribe.

p1

p2

pn

___

\ q

Realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,...... y pn también es verdadera, entonces se sabe que q es verdadera.

Prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos por implicaciones de este tipo.

(p1 Ù p2 Ù .......Ù pn) Þ q

Donde la pi son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión. "Demostrar el teorema", es demostrar que la implicación es una tautología. Note que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas.

Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.

A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de las tautologías como de las reglas de inferencia.

Sean

p: Trabajo.

q: Ahorro.

r: Compraré una casa.

s: Podré guardar el coche en mi casa.


Analizar el siguiente argumento:

"Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro".

El enunciado anterior se puede representar como:

p Ú q ® r; y r ® s; entonces s' ® q'

Equivale también a probar el siguiente teorema:

[(p Ú q) ® r] Ù [r ® s] Þ [s' ® q']

Como se trata de probar un teorema de la forma general:

p1 Ù p2 Ù......Ù pn Þ q

Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos. A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.

1.- (p Ù q) ® r Hipótesis

2.- r ® s Hipótesis

3.- q ® (q Ù p) Adición tautología 10

4.- q ® (p Ú q) 3; ley conmutativa, regla 2

5.- q ® r 4,1; silogismo hipotético, regla 22

6.- q ® s 5,2; regla 22

7.- s' ® q' 6; contrapositiva, regla 7.

El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera.

Es recomendable numerar cada uno de los pasos. Se puede notar que las primeras líneas son hipótesis, la línea 3 es una tautología conocida y de la línea 4 a 7 se obtuvieron aplicando reglas de inferencia. Se indica la regla de inferencia aplicada por medio del número de la derecha, y las líneas a las cuales se les aplicó dicha regla de inferencia por medio de los números de la izquierda.

El ejemplo anterior es una demostración sencilla, pero puede ser tan complicada como sea necesario y el método debe funcionar.

Demostración por contradicción.

El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción.

La demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como se indica

[ p ® (p Ù r) ] Ù [ (q Ú s) ® t ] Ù (p Ú s) Þ t

Demostración

1.- p ® (p Ù r) Hipótesis

2.- (q Ú s) ® t Hipótesis

3.- p Ú s Hipótesis

4.- t’ Negación de la conclusión

5.- (qÚ s)’ 2,4; Modus tollens, regla 25

6.- q’ Ù s’ 5; Ley de Morgan, 6ª

7.- q’ 6; Simplificación, regla 20

8.- s’ Ù q’ 6; Ley conmutativa, 2b

9.- s’ 8; Simplificación, regla 20

10.- sÚ p 3; Ley conmutativa, 2ª

11.- p 10,9; Silogismo disyuntivo, regla 21

12.- q Ù r 11,1; Modus ponens, regla 24

13.- q 12; Simplificación, regla 29

14.- q Ù q’ 13,7; Conjunción, regla 23

15.- Contradicción.

Note que juntamente con las premisas se debe incluir la negación de la conclusión. En este momento el alumno ya tiene los elementos para llevar a cabo demostraciones con el apoyo del maestro. Es conveniente plantear varios enunciados, para que el alumno los represente con simbología lógica en forma de teorema. Que ese mismo teorema lo represente con su tabla de verdad y haga la correspondiente demostración por los dos métodos antes mencionados.

La forma en que el aprende a aplicar reglas de inferencia es semejante a la manera en que deberá realizar una factorización o una aplicación de una fórmula en cálculo diferencial o integral o la formula que debe aplicar para resolver un problema en física. Lo que debe aprender es a relacionar los distintos conocimientos para poder llegar a la solución. Es importante mencionar que el camino que debe seguir el alumno no es el mismo que el maestro siguió sino uno distinto pero que ambos llegan al resultado.

1.2 - Conectivos logicos y tablas

Los patrones o expresiones de la lógica proposicional se construyen a partir de un alfabeto que consta de los siguientes símbolos:
-- Las constantes lógicas Verdadero ( ) y Falso ( ). También pueden ser V o F
-- Los símbolos de variables tales como P y Q.
-- Los conectivos lógicos  ,  ,  ,  , y 
-- Símbolos de puntuación: paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { } para evitar ambigüedades

Todas las oraciones se forman combinando los símbolos anteriores mediante ciertas reglas.
-- Las constantes lógicas Verdadero y Falso constituyen oraciones en sí mismas
-- Las variables proposicionales P, Q, R,… son oraciones
-- Encerrar entre paréntesis una oración produce también una oración, por ejemplo
(P  Q).

Combinar oraciones con los conectadores lógicos siguientes forma una oración
-- Conjunción (Λ) (y). A la oración cuyo conector principal es  (y) se le llama conjunción, y a sus partes se les llama coyuntos.
-- Disyunción (V) (o). A la oración cuyo conector principal es  (o) se le llama disyunción, y a sus partes se les llama disyuntos.
-- Implicación ( ). Una oración como P  R se conoce como implicación (o condicional), su premisa o antecedente es P y su conclusión o consecuente es R. A las implicaciones también se les llama reglas o aseveraciones si-entonces.
-- Premisas. Son los antecedentes de una implicación.
-- Equivalencia.
-- Dos sentencias α y β son equivalentes lógicamente si es que son verdaderas con el mismo conjunto de hechos.
-- Negación ( ) (no).
-- A una oración como  P se le llama negación de P.  es el único de los conectores que funcionan como una sola oración.



Tablas de verdad


Se emplean en la lógica para determinar los posibles valores de verdad de una expresión o proposición. O si un esquema de inferencia, como argumento, es formalmente válido mostrando que, efectivamente, es una tautología.
La tabla de verdad de una sentencia es una tabla en la que se presentan todas las posibles interpretaciones de las variables proposicionales que constituyen la sentencia y el valor de verdad de la sentencia para cada interpretación.
Dado que en el cálculoproposicional se opera sólo sobre dos valores de verdad, para cualquier expresión existe un número finito de valuaciones posibles que se pueden tabular.
La tabla de verdad de una expresión con n variables proposicionales tiene 2n filas
Semántica
• Negación Consiste en cambiar el valor de verdad de una variable proposicional.
p

V F
F V
• Disyunción: La sentencia será verdadera cuando una o ambas variables proposicionales sean verdaderas.
p q

V V V
V F V
F V V
F F F
• Conjunción :La sentencia será verdadera sólo cuando ambas variables proposicionales sean verdaderas.
p q

V V V
V F F
F V F
F F F
• Condicional
La sentencia será verdadera cuando se cumpla si es válido p entonces lo es q.
p q

V V V
V F F
F V V
F F V
• Bicondicional
La sentencia será verdadera cuando ambas variables proposicionales sean iguales.
p q

V V V
V F F
F V F
F F V
• Disyunción exclusiva
La sentencia será verdadera sólo cuando sólo una de las dos variables proposicionales sea verdadera, pero no las dos.
P q

V V F
V F V
F V V
F F F

1.1- Proposiciones Logicas

Propociciones


Los pensamientos son producto de una actividad mental, necesitan ser comunicados para poderlos examinar.
Las propociociones son pensamientos en la que se afirma algo acerca de un objeto y se distinguen de cualquier otro enunciado porque son los unicos que pueden ser falsos o verdaderos.
Los demas enunciados (oraciones) no pueden ser ni verdaderos ni falsos, son entodo caso justos o injustos, adecuados o absurdos, sinceros o fingidos, etcètera.

Veamos algunos ejemplos:

!Que susto¡ - Esta exclamacion es de tipo exclamativo y sòlo expresa la emociòn de un sujeto y no es falsa ni verdadera.

¿Cuando naciò Emiliano Zapata? - Este enunciado es de tipo interrogativo, es una pregunta y las preguntas no son falsas ni verdaderas, solo lo son las respuestas.

!No contamines¡ - Esta en cambio, es de tipo imperativo; expresa una orden un mandato, el cual tampoco es falso o verdadero.


Asi pues, los unicos enunciados que son falsos o verderos son los declarativos, porque solo ellos afirman o niegan

Ejemplos:
-- El àcido sulfùrico corroe la madera. (verdadera)
-- El año de 1968 es bisiesto. (verdadera)
-- La economìa es una ciencia formal. (falso)
-- Mexìco esta saliendo de la crisis. (falso)


proposiciones simples y compuestas.



Hemos de distinguìr ademàs, que las proposiciones pueden ser de dos tipos: Simples (atòmicas) o Compuestas moleculares.
Las proposiciones Simples o Atòmicas son aquellas que no es posible distinguir a otras proposiciones con sus componentes o dicho de otra manera carecen de tèrminos de enlace (exceptuando la negaciòn).
En cambio, las proposiciones compuestas o moleculares son aquellas en las que sì se encuentran dos o mas proposiciones como sus componentes.

Ejemplos:

Proposiciones atòmicas

-- El petròleo es un hidrocarburo.
-- Terranova es una isla.
-- La lògica es una ciencia.
-- Terranova se encuentra en Amèrica.
-- Los soles son estrellas que brillan con luz propia

Proposiciones Moleculares

-- La lògica es una ciencia formal y se aplica en todas las ciencias.
-- O el petroleo es un hidrocarburo o el petroleo es alcalino.
-- El sol es una estrella si sòlo si brilla con luz propia.
-- No es cierto que: Terranova no se encuentra en Amèrica.